Непрерывность обратной функции

Пусть $f(x)\mathpunct{:}~ (a,b) \to (c,d)$ строго возрастает и непрерывна, тогда $g(y) = f^{-1}(x)$ - непрерывна на $(c,d)$ и строго возрастает.

!continuity_inverse.svg Хотим доказать: $$\forall{\delta > 0}~~ \exists{\varepsilon > 0}\mathpunct{:}~~ |y-y_{0}| < \varepsilon \Rightarrow |g(y) - g(y_{0})| < \delta$$ Пусть $y_{0} = f(x_{0})$. Для любого $\delta$: $$(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta) \subset (a,b),~~ y_{1} = f(x_{0} - \delta),~~ y_{2} = f(x_{0} + \delta)$$ Тогда ${} \exists{O_{\varepsilon}(y_{0})}\mathpunct{:}~~ O_{\varepsilon}(y_{0}) \subset (y_{1}, y_{2}) {}$, где $\varepsilon = \min \{|y_{1} - y_{0}|, |y_{2} - y_{0}|\}$ А значит: $g(O_{\varepsilon}(y_{0})) \subset (x_{0} - \delta, x_{0} + \delta)$, что и требовалось доказать.